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Deret Aritmatika

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Deret Aritmatika

Salah satu tipe barisan yang paling sering kita kenal adalah barisan aritmatika. Barisan aritmatika sendiri terdiri dari beberapa susunan bilangan real yang kemudian dapat membentuk suatu pola bilangan tertentu. Berikut ini penjelasan mengenai deret aritmatika secara lebih detail dan mendalam.

Deret Aritmatika

Untuk memperoleh deret aritmatika sendiri dapat diketahui dari hasil penambahan pada sebuah barisan aritmatika. Karakteristik dari barisan aritmatika yakni terdapat perbedaan yang sama untuk satu bilangan ke bilangan selanjutnya.

Contoh Barisan Aritmatika

Barisan aritmatika memiliki jumlah pengulangan yang sama dari satu bilangan ke bilangan selanjutnya. Contoh mudah dari barisan aritmatika adalah seperti berikut:
3, 5, 7, 9, 11, 13 dan selanjutnya

Dari contoh tersebut kita bisa melihat bahwa barisan aritmatika di atas memiliki perbedaan nilai sebesar 2 (b=2). Sehingga barisan aritmatika dapat dituliskan dengan model a, a+b, a+2b,…, a + (n-1)b. Beda dituliskan dengan lambing “b” sementara n menunjukkan urutan dari suku bilangan tersebut.

Karena memiliki besaran perbedaan nilai yang tetap, sehingga selisih nilai ini dapat dituliskan dengan lambang “b” atau beda. Untuk dapat menentukan perbedaan nilai dari dua barisan aritmatika yang berurutan dituliskan dengan:

b= Un – Un-1

Misalnya untuk contoh barisan aritmatika di atas, maka nilai suku ke-3 adalah 7 sementara nilai suku ke-2 adalah 5. Dengan rumus untuk menentukan perbedaan baris aritmatika di atas, maka akan dapat diperoleh nilai b:

b= Un – Un-1
b= U3 – U2
b= 7 – 5 =2

Sementara untuk menentukan nilai dari suku ke-n untuk barisan aritmatika dapat dilakukan menggunakan rumus suku ke-n berikut ini.

Rumus Deret Aritmatika

Seperti yang sudah disinggung sebelumnya bahwa deret aritmatika lebih kepada jumlah dari suku berurutan pada barisan aritmatika. Untuk rumus yang sering digunakan adalah:

Un = Sn –Sn-1
Sn= n/2 (a+Un)

Jika Un diganti dengan a+ (n-1) b maka diperoleh rumus Sn= n/2 (2a + (n-1) b)

Contoh Soal Deret Aritmatika

Setelah Anda mengetahui beberapa penjelasan mengenai deret dan baris Aritmatika, sekarang saatnya Anda melatih kemampuan Anda dengan menjawab contoh soal berikut ini. Soal Deret berikut ini bisa Anda buat bahan latihan untuk mempersiapkan Ujian Nasional (UN) hingga Ujian Akhir Semester buat SMP maupun SMA Sederajat. Semoga latihan contoh soal deret aritmatika dari Jev Edukasi Online ini bisa membantu dan bermanfaat buat Anda.

Soal 1

Diketahui suatu barisan bilangan aritmatika dengan suku ke-n dengan rumus Un = n2 – 2n. Lima suku pertama dari pola barisan tersebut adalah …

Jawab :
Rumus suku ke-n yaitu Un = n2 – 2n.
Suku Pertama U1 = 12 – 2(1) = –1.
Suku Kedua U2 = 22 – 2(2) = 0.
Suku Ketiga = U3 = 32 – 2(3) = 3.
Suku Keempat = U4 = 42 – 2(4) = 8.
Suku Kelima = U5 = 52 – 2(5) = 15.

Sehingga dapat kita jawab bahwasannya 5 suku pertama dari pola barisan tersebut ialah –1, 0, 3, 8, 15.

Soal 2

Diketahui suatu bilangan aritmatika dengan pola –3, 2, 7, 12, …. Carilah suku ke 8 dan 20 dari baris bilangan tersebut …

Jawab :
Pola Barisan = –3, 2, 7, 12, …
Suku pertama adalah a = –3 dan selisihnya b = 2 – (–3) = 5.
Menyubtitusikan a dengan b, sehingga diperoleh Un = –3 + (n – 1)5.
Suku Ke Delapan : U8 = –3 + (8 – 1)5 = 32.
Suku Ke Dua Puluh-20 : U20 = –3 + (20 – 1)5 = 92.

Soal 3

Diketahui suatu deret Aritmatika dengan pola bilangan 2 + 4 + 6 + 8 + …. Berapakah jumlah 100 suku pertama dari pola bilangan deret tersebut

Jawaban :
Diketahui bilangan awal a = 2, sedangkan selisih a dan b ialah b = 4 – 2 = 2, dan n = 100
S100 = ½ × 100 {2(2) + (100 – 1)2}
= 50 {4 + 198}
= 50 (202)
= 10.100

Sehingga dapat kita simpulkan jika jumlah 100 suku pertama dari deret tersebut ialah 10.100.

Soal 4

Diketahui rumus jumlah n suku pertama dari deret aritmetika ialah Sn = 2n2 – 4n. Berapakah suku ke n deret tersebut dan perbedanya

Jawaban :
Sn = 2n2 – 4n → p = 2, q = –4
Un = 2pn + (q – p)
= 2 x 2 x n + (–4 – 2)
= 4n – 6

Sedangkan untuk bedanya yaitu = 2p = 2(2) = 4

Penutup

Melihat model barisan aritmatika tersebut bisa disimpulkan bahwa barisan aritmatika dibentuk dari barisan dengan dua buah suku berurutan yang memiliki perbedaan nilai yang tetap. Sementara rumus dari deret barisan aritmatika berguna untuk memperoleh jumlah dari suku yang berurutan pada barisan aritmatika.

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